TÉCNICAS DE CONTEO

• Diagrama de árbol
• Permutaciones

Se llama permutaciones de "n" elementos a los diferentes grupos que se pueden formar con esos elementos, siguiendo las siguientes reglas.

1. Entran todos los elementos.
2. Si importa el orden.
3. No se repitan los elementos.

Si el ejercicio que se plantea sigue estas tres reglas la formula es aplicar Pn=n!

• Variaciones
• Combinaciones 

Ejercicios Permutaciones

1. ¿Cuantos números de 3 cifras diferentes se puede formar con los dígitos 1,2,3?

  3*2*1=6                                              1,2,3

                                                             1,3,2

                                                             2,3,1

                                                             2,1,3

                                                             3,1,2

                                                             3,2,1

    

     2.¿Cuantos grupos diferentes de tres vocales se puede formar sin que se repitan los elementos, usando 3 vocales: A,E,O?

                       3*2*1=6                        A,E,O

                                                            A,O,E

                                                            E,A,O

                                                            E,O,A

                                                            O,A,E

                                                            O,E,A

    3.¿Cuantos grupos de 4 elementos se puede formar con los digitos 3,5,7,9?

                    P4=4!                    4*3*2*1=24

              3,5,7,9                     5,3,7,9                      7,5,9,3                      9,3,5,7

              3,5,9,7                     5,3,9,7                      7,5,3,9                      9,3,7,5

              3,9,7,5                     5,9,3,7                      7,3,5,9                      9,7,3,5

              3,9,5,7                     5,9,7,3                      7,3,9,5                      9,7,5,3

              3,7,9,5                     5,7,3,9                      7,9,3,5                      9,5,3,7

              3,7,5,9                     5,7,9,3                      7,9,5,3                      9,5,7,3

    4. Antiguamente los barcos se comunicaban entre si usando banderas de diferentes                 colores de manera ordenada.

                   P4=4!

                   4*3*2*1= 24 mensajes

                    

                   P5=5!

                   5*4*3*2*1=120 mensajes 

Permutaciones con repetición

Se llama permutaciones con repetición a los grupos de elementos que se forman cuando "n" elementos,donde e primer elemento se repite n veces, el segundo también se repite n veces y así se repiten hasta llegar al final de la lista. Estas agrupaciones deben seguir las siguientes reglas;

1. Entran todos los elementos.
2. Si importa el orden.
3. Si se repiten los elementos.

La formula para realizar el calculo de las permutaciones con repetición es la siguiente.

                                                           

                                                            PRn=____Pn_____

                                                                          a! b! c!

Con las cifras 2,2,2,3,3,3,3,4,4 ¿Cuantos números de 9 cifras se pueden formar? Si los datos son n=9  a=3   b=4   c=2

                              abc

                      PRn         =____Pn______

                                             a! b! c!

                             3,4,2

                     PRn =______Pa______= 9*8*7*6*5*4*3*2*1=  9*8*7*6 = 15120 = 1260

                                        3! 4! 2!               3*2*1.4*3+2  *1          6*2             12

                          

Permutaciones Circulares 

Las permutaciones circulares se utilizan cuando os elementos se van a ordenar en circulo

Por ejemplo

Los comensales en una mesa se van a sentar de modo que el primer elemento que se situe en la mesa determina el principio y el fin de la lista.

La formula  para la permutacion circular es PC n-1=n!

Ejercicio  

• De cuantas formas distintas pueden sentarse 8 personas alrededor de una mesa redonda.

                                PC n-1= n!

                                PC 8-1= 71 =7*6*5*4*3*2*1= 5040

               PERMUTACIONES                      FORMULA                     REGLAS

                                                                                                          

                                                                                                      1. Entran todos los elementos.

                 Permutaciones                                 P4= 4!                  2. Si importa el orden.

                                                                                                      3. No se repiten los elementos.

                                                                                                                

                  Con repetición                            PRn=__Pn__                 222      3333      44                                                                                                  a! b! c!                   a            b         c

                     Circulares                                 PCn-1 = n!               Tienen que ser un problema                                                                                                                        relacionado a un circulo.

                                                                                                                

Ejercicios de Permutaciones

1. ¿Cuantas palabras distintas de cuatro letras se pueden formar? Escriba el listado que se forma. 

                  Pn = 4!

                 

                  Pn = n! = 4! = 4*3*2*1= 24 palabras 

                                          ALEX          LAEX          ELAX          XAEL 

                                          AELX          LAXE          ELXA          XALE

                                          AEXL          LXAE          EXAL          XLAE

                                          AXLE          LXEA          EXLA          XLEA

                                          AXEL          LEAX          EALX          XELA

                                          ALXE          LAEX          EAXL          XEAL  

     2.¿Cuantas palabras diferentes de 5 letras se puede fomar con la palabra LIBRO?

                 Pn = n! =5! = 5*4*3*2*1= 120 palabras 

     3.¿Cuantas palabras diferentes de 6 letras se puede formar la palabra TRATAR?

                PRn = ____Pn_____

                                a! b! c!

                      2,2,2

                PR          =____P6_____ =    6*5*4*3*2*1   =___360___ = 90 palabras

                                     2! 2! 2!           2*1 * 2*1 * 2*1            4

    4.¿Cuantas palabras de 10 letras se puede formar usando la palabra TERMÓMETRO? 

              PR =____P10____ =    10*9*8*7*6*5*4*3*2*1     = 1814400 = 113400 palabras

                        2! 2! 2! 2! 2!    2*1 x 2*1 x 2*1 x 2*1 x 2*1          16

 Principios Fundamentales del Conteo 

La enumeración o conteo puede parecer un proceso obvio que un estudiante aprende al estudio aritmética por primera vez. Pero luego según parece se presta poca atención en lo que se refiere a un desarrollo mas amplio del conteo, conforme el estudiante pasa áreas mas difíciles de las matemáticas  como el álgebra, la geometría, la trigonometria y el calculo. En consecuencia deberá servir como advertencia acerca del conteo.

La enumeración no termina con la aritmética, también tiene aplicaciones como: la teoría de códigos, la probabilidad y la estadística. 

Reglas de la Suma y Producto

1. Si una primera tarea puede realizarse de "m" formas mientras que una segunda tarea puede realizarse  de "n" formas, y no es posible realizar ambas tareas de manera simultanea entonces para llevar a cabo cualquiera de ellas.
2. Si un procedimiento se puede descomponer en las etapas primera y segunda, si existe "m" resultados posibles de la primera etapa, para cada uno de estos resultados existen "n" resultados posibles para la segunda etapa, entonces el procedimiento total se puede realizar en el orden dado. 

CUESTIONARIO

1°-¿Qué son las Técnicas de Conteo?

Las técnicas de conteo son una serie de métodos de probabilidad para contar el número posible de arreglos dentro de un conjunto o varios conjuntos de objetos. 

2°-¿Cuando se usan las Técnicas de Conteo?

Estas se usan cuando realizar las cuentas de forma manual se convierte en algo complicado debido a la gran cantidad de objetos y/o variables.

3°-Menciona las Técnicas de Conteo que conozcas.

Diagrama de árbol, permutaciones, combinaciones, variaciones. 

4°-¿Que es un Diagrama de Árbol?

Un diagrama de árbol o árbol de probabilidad es una herramienta que se utiliza para determinar si en realidad en el cálculo de muchas opciones se requiere conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción de un diagrama de planta.

5°-¿Que son las Permutaciones?

Se llama permutaciones de "n" elementos a los diferentes grupos que se pueden formar con esos elementos, siguiendo las siguientes reglas.

1. Entran todos los elementos.
2. Si importa el orden.
3. No se repitan los elementos.

6°-¿Que son las Variaciones?

Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m = n) a los distintos grupos formados por n elementos, eligiéndolos de entre los m elementos de que disponemos, de forma que: – No entran todos los elementos.

7°-¿Qué son las combinaciones?

Una combinación es una selección de elementos de una colección, de manera que el orden de selección no importa.

8°-¿Que es una Permutación con Repetición?

Se llama permutaciones con repetición a los grupos de elementos que se forman cuando "n" elementos,donde e primer elemento se repite n veces, el segundo también se repite n veces y así se repiten hasta llegar al final de la lista. Estas agrupaciones deben seguir las siguientes reglas;

1. Entran todos los elementos.
2. Si importa el orden.
3. Si se repiten los elementos.

9°-¿Cuando se utiliza una Permutación Circular?

Las permutaciones circulares se utilizan cuando los elementos se van a ordenar en circulo.

10°-¿Cual es la formula para una Permutacion Circular?

La formula  para la permutacion circular es PC n-1=n!

Teoría de Conjuntos

1°- ¿Que es conjunto?

Un conjunto es una colección de elementos con características similares considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.

Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto

2°-¿Que es conjunto?

Un conjunto se define como la agrupación de diferentes elementos que comparten entre sí características y propiedades semejantes. Estos elementos pueden ser cualquier cosa, tales como números, canciones, meses, personas, etcétera.

A su vez un conjunto puede convertirse también en un elemento. 

Por ejemplo, un ramo de flores. En principio una flor sería el primer elemento, pero al conjunto de flores se lo puede considerar luego como un ramo de flores, convirtiéndose así, en un nuevo elemento.

Fuente: https://concepto.de/que-es-un-conjunto/#ixzz5kT0wgTOP

3°-¿Que es un conjunto?

Lo primero que debemos saber es qué es un conjunto. Podemos definirlo como una colección de objetos, a los que llamamos elementos, que tienen alguna característica común.

Los conjuntos pueden tener elementos de cualquier tipo: números, letras, objetos, personas… Por ejemplo, este conjunto contiene frutas:

Fuente: https://www.smartick.es/blog/matematicas/recursos-didacticos/conjuntos-subconjuntos/

SUBCONJUNTOS 

1°-¿Que es un subconjunto?

Conjunto de elementos que tienen las mismas características y que está incluido dentro de otro conjunto más amplio.

El conjunto de los números pares es un subconjunto del conjunto de los números enteros

Fuente: https://es.oxforddictionaries.com/definicion/subconjunto

2°-¿Que es un subconjunto?

Recuerde que un conjunto es una colección de elementos.
Un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B si cada elemento en A está también en B .
Por ejemplo, si A = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3, 4, 5}, entonces A es un subconjunto de B , y escribimos

La línea debajo de la U de lado significa que A también puede ser igual a B (esto es, estos pueden ser conjuntos idénticos). Si queremos decir que A es un subconjunto apropiado de B (esto quiere decir: es un subconjunto, pero hay por lo menos un elemento en B que no está en A ) entonces podemos eliminar la línea:

Para escribir que un conjunto no es un subconjunto de otro conjunto, solo coloque una diagonal a través de la U de lado:

Fuente: https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/subsets}

3°-¿Que es un subconjunto?

Un subconjunto A de un conjunto B, es un conjunto que contiene algunos de los elementos de B (o quizá todos)

Cuando A es un subconjunto de B, se denota como A ⊆ B y se dice que «A está contenido en B». También puede escribirse B ⊇ A, y de

cirse queB es un superconjunto de A y también «B contiene a A» o «B incluye aA».

Todo conjunto A es un subconjunto de sí mismo, ya que siempre se cumple que «cada elemento de A es a su vez un elemento de A».

Es habitual establecer una distinción más fina mediante el concepto de subconjunto propio: A es un subconjunto propio de B si es un subconjunto de B pero no es igual a B. Se denota como A ⊊ B, es decir: A ⊆ B pero A ≠ B (y equivalentemente, para un superconjunto propio, B ⊋ A).

DIAGRAMAS DE VENN

Definición 1:

Un diagrama de Venn usa círculos que se superponen u otras figuras para ilustrar las relaciones lógicas entre dos o más conjuntos de elementos. A menudo, se utilizan para organizar cosas de forma gráfica, destacando en qué se parecen y difieren los elementos. Los diagramas de Venn, también denominados "diagramas de conjunto" o "diagramas lógicos", se usan amplia mente en las áreas de matemática, estadística, lógica, enseñanza, lingüística, informática y negocios. 

Fuente: https://www.lucidchart.com/pages/es/que-es-un-diagrama-de-venn

Definición 2: 

Los diagramas de Venn son esquemas usados en la teoría de conjuntos, tema de interés en matemáticas, lógica de clases y razonamiento diagramático. Estos diagramas muestran colecciones (conjuntos) de cosas (elementos) por medio de líneas cerradas. La línea cerrada exterior abarca a todos los elementos bajo consideración, el conjunto universal U.

Los diagramas de Venn fueron ideados hacia 1880 por John Venn.

Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_Venn

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Actividad: Definir las siguientes operaciones y leyes de conjuntos.

Unión: En la teoría de conjuntos, la unión de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son los mismos de los conjuntos iniciales. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales es la unión del conjunto de los números pares positivos P y el conjunto de los números impares positivos I:

  

En ambos casos los resultados son iguales. Esta propiedad, particularizada para la suma y el producto, se puede generalizar a cualquier otro par de operaciones aritméticas, obteniendo de esta forma la definición de distributidad.
La negación de la disyunción es la conjunción de las negaciones.
y también,

• ¬ es el operador de negación (NO)

•  es el operador de conjunción (Y)

•  es el operador de disyunción (O)

• ⇔ es un símbolo metalógico que significa "puede ser reemplazado en una prueba lógica"

La unión de conjuntos se denota por el símbolo ∪, de modo que por ejemplo, N = P ∪ I.

Intersección: En teoría de conjuntos, la intersección de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida. Por ejemplo, dado el conjunto de los números pares P y el conjunto de los cuadrados C de números naturales, su intersección es el conjunto de los cuadrados pares D:

En otras palabras: Así, por ejemplo, si A = { a, b, c, d, e, f} y B = { a, e, i, o, u}, entonces la intersección de dichos conjuntos estará formada por todos los elementos que estén a la vez en los dos conjuntos, esto es: A∩B = { a, e}

La intersección de conjuntos se denota por el símbolo ∩ por lo que D = P ∩ C.

Complemento: El complemento de un conjunto o conjunto complementario es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos se están utilizando, o de otro modo, cuál es el conjunto universal. Por ejemplo, si se habla de números naturales, el complementario del conjunto de los números primos P es el conjunto de los números no primos C, que está formado por los números compuestos y el 1:

A su vez, el conjunto C es el complementario de P. El conjunto complementario se denota por una barra horizontal o por el superíndice «∁», por lo que se tiene: P^∁ = C, y también C = P.

El conjunto complementario de A es la diferencia (o complementario relativo) entre el conjunto universal y A, por lo que ambas operaciones (complementario y diferencia) tienen propiedades similares.

Ley Distributiva: En matemáticas y en particular en álgebra abstracta, la distributiva es la propiedad de los operadores binarios que generaliza la propiedad distributiva del álgebra elemental.

La propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma en álgebra elemental es aquella en la que el resultado de un número multiplicado por la suma de dos o más sumando, es igual a la suma de los productos de cada uno sumando por ese número. En términos algebraicos:

Ejemplo: ${\displaystyle 3\cdot (5+4)=3\cdot (9)=27}$ 

Ley de Morgan: En lógica proposicional y álgebra de Boole, las leyes de De Morgan​ son un par de reglas de transformación que son ambas reglas de inferencia válidas. Las normas permiten la expresión de las conjunciones y disyunciones puramente en términos de vía negación.

Las reglas se pueden expresar en español como:

La negación de la conjunción es la disyunción de las negaciones.

o informalmente como:

"no (A y B)" es lo mismo que "(no A) o (no B)"

"no (A o B)" es lo mismo que "(no A) y (no B)"

Las reglas pueden ser expresadas en lenguaje formal con dos proposiciones P y Q, de esta forma:

donde:

Entre la aplicaciones de las normas se incluyen la simplificación de expresiones lógicas en programas de computación y diseño de circuitos digitales. Las leyes de De Morgan son un ejemplo de concepto más general de dualidad matemática.

Diferencia Simétrica: En teoría de conjuntos, la diferencia simétrica de dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son aquellos que pertenecen a alguno de los conjuntos iniciales, sin pertenecer a ambos a la vez. Por ejemplo, la diferencia simétrica del conjunto de los números pares P y el conjunto de los cuadrados perfectos C es un conjunto D que contiene los cuadrados impares y los pares no cuadrados:

La diferencia simétrica de conjuntos se denota por Δ, por lo que P Δ C = D.

Actividad: Definir la relación que existe entre la teoría de conjuntos, lógica matemática y álgebra booleana.

Entre lógica matemática y teoría de conjuntos comparten leyes lógicas tanto para conjuntos como para lógica proposicional. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional.En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico.

CUESTIONARIO

1°-¿Que es un conjunto?

Un conjunto es una colección de elementos con características similares considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.

2°-¿Qué es un subconjunto?

Conjunto de elementos que tienen las mismas características y que está incluido dentro de otro conjunto más amplio.

3°-¿Qué es el Diagrama de Venn?

Un diagrama de Venn usa círculos que se superponen u otras figuras para ilustrar las relaciones lógicas entre dos o más conjuntos de elementos.

4°-¿Para que se utiliza el Diagrama de Venn?

Se utilizan para organizar cosas de forma gráfica, destacando en qué se parecen y difieren los elementos. 

5°-¿En que áreas se utilizan los Diagramas de Venn?

Se usan amplia mente en las áreas de matemática, estadística, lógica, enseñanza, lingüística, informática y negocios. 

6°-¿Cuando se creó el Diagrama de Venn?

Los diagramas de Venn fueron ideados hacia 1880 por John Venn.

7°-¿Que es la Ley Distributiva?

En matemáticas y en particular en álgebra abstracta, la distributiva es la propiedad de los operadores binarios que generaliza la propiedad distributiva del álgebra elemental.

8°-¿Qué es la Ley de Morgan?

En lógica proposicional y álgebra de Boole, las leyes de De Morgan​ son un par de reglas de transformación que son ambas reglas de inferencia válidas.

9°-¿Qué es la Diferencia Simétrica?

En teoría de conjuntos, la diferencia simétrica de dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son aquellos que pertenecen a alguno de los conjuntos iniciales, sin pertenecer a ambos a la vez.

10°-¿Cómo se denota la "Diferencia Simétrica" de conjuntos?

La diferencia simétrica de conjuntos se denota por Δ, por lo que P Δ C = D.