Teoría de Conjuntos
1°- ¿Que es conjunto?
Un conjunto es una colección de elementos con características similares considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.
Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:
- AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:
- P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}
- 2°-¿Que es conjunto?
- Un conjunto se define como la agrupación de diferentes elementos que comparten entre sí características y propiedades semejantes. Estos elementos pueden ser cualquier cosa, tales como números, canciones, meses, personas, etcétera.A su vez un conjunto puede convertirse también en un elemento.
- Por ejemplo, un ramo de flores. En principio una flor sería el primer elemento, pero al conjunto de flores se lo puede considerar luego como un ramo de flores, convirtiéndose así, en un nuevo elemento.
- 3°-¿Que es un conjunto?
- Lo primero que debemos saber es qué es un conjunto. Podemos definirlo como una colección de objetos, a los que llamamos elementos, que tienen alguna característica común.
Los conjuntos pueden tener elementos de cualquier tipo: números, letras, objetos, personas… Por ejemplo, este conjunto contiene frutas: SUBCONJUNTOS
- 1°-¿Que es un subconjunto?
- Conjunto de elementos que tienen las mismas características y que está incluido dentro de otro conjunto más amplio.
El conjunto de los números pares es un subconjunto del conjunto de los números enteros - 2°-¿Que es un subconjunto?
- Recuerde que un conjunto es una colección de elementos.
Un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B si cada elemento en A está también en B .
Por ejemplo, si A = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3, 4, 5}, entonces A es un subconjunto de B , y escribimos
La línea debajo de la U de lado significa que A también puede ser igual a B (esto es, estos pueden ser conjuntos idénticos). Si queremos decir que A es un subconjunto apropiado de B (esto quiere decir: es un subconjunto, pero hay por lo menos un elemento en B que no está en A ) entonces podemos eliminar la línea:
Para escribir que un conjunto no es un subconjunto de otro conjunto, solo coloque una diagonal a través de la U de lado:
- 3°-¿Que es un subconjunto?
- Un subconjunto A de un conjunto B, es un conjunto que contiene algunos de los elementos de B (o quizá todos)
Cuando A es un subconjunto de B, se denota como A ⊆ B y se dice que «A está contenido en B». También puede escribirse B ⊇ A, y decirse queB es un superconjunto de A y también «B contiene a A» o «B incluye aA».Todo conjunto A es un subconjunto de sí mismo, ya que siempre se cumple que «cada elemento de A es a su vez un elemento de A».Es habitual establecer una distinción más fina mediante el concepto de subconjunto propio: A es un subconjunto propio de B si es un subconjunto de B pero no es igual a B. Se denota como A ⊊ B, es decir: A ⊆ B pero A ≠ B (y equivalentemente, para un superconjunto propio, B ⊋ A). - DIAGRAMAS DE VENN
- Definición 1:
- Un diagrama de Venn usa círculos que se superponen u otras figuras para ilustrar las relaciones lógicas entre dos o más conjuntos de elementos. A menudo, se utilizan para organizar cosas de forma gráfica, destacando en qué se parecen y difieren los elementos. Los diagramas de Venn, también denominados "diagramas de conjunto" o "diagramas lógicos", se usan amplia mente en las áreas de matemática, estadística, lógica, enseñanza, lingüística, informática y negocios.
- Definición 2:
- Los diagramas de Venn son esquemas usados en la teoría de conjuntos, tema de interés en matemáticas, lógica de clases y razonamiento diagramático. Estos diagramas muestran colecciones (conjuntos) de cosas (elementos) por medio de líneas cerradas. La línea cerrada exterior abarca a todos los elementos bajo consideración, el conjunto universal U.Los diagramas de Venn fueron ideados hacia 1880 por John Venn.
- Ejemplo 1
- Ejemplo 2
- Ejemplo 3
Actividad:Definir las siguientes operaciones y leyes de conjuntos.- Unión: En la teoría de conjuntos, la unión de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son los mismos de los conjuntos iniciales. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales es la unión del conjunto de los números pares positivos P y el conjunto de los números impares positivos I:
- ¬ es el operador de negación (NO)
- es el operador de conjunción (Y)
- es el operador de disyunción (O)
- ⇔ es un símbolo metalógico que significa "puede ser reemplazado en una prueba lógica"
En ambos casos los resultados son iguales. Esta propiedad, particularizada para la suma y el producto, se puede generalizar a cualquier otro par de operaciones aritméticas, obteniendo de esta forma la definición de distributidad.
La negación de la disyunción es la conjunción de las negaciones.
y también,
La unión de conjuntos se denota por el símbolo ∪, de modo que por ejemplo, N = P ∪ I. - Intersección: En teoría de conjuntos, la intersección de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida. Por ejemplo, dado el conjunto de los números pares P y el conjunto de los cuadrados C de números naturales, su intersección es el conjunto de los cuadrados pares D:En otras palabras: Así, por ejemplo, si A = { a, b, c, d, e, f} y B = { a, e, i, o, u}, entonces la intersección de dichos conjuntos estará formada por todos los elementos que estén a la vez en los dos conjuntos, esto es: A∩B = { a, e}La intersección de conjuntos se denota por el símbolo ∩ por lo que D = P ∩ C.
- Complemento: El complemento de un conjunto o conjunto complementario es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos se están utilizando, o de otro modo, cuál es el conjunto universal. Por ejemplo, si se habla de números naturales, el complementario del conjunto de los números primos P es el conjunto de los números no primos C, que está formado por los números compuestos y el 1:A su vez, el conjunto C es el complementario de P. El conjunto complementario se denota por una barra horizontal o por el superíndice «∁», por lo que se tiene: P∁ = C, y también C = P.El conjunto complementario de A es la diferencia (o complementario relativo) entre el conjunto universal y A, por lo que ambas operaciones (complementario y diferencia) tienen propiedades similares.
- Ley Distributiva: En matemáticas y en particular en álgebra abstracta, la distributiva es la propiedad de los operadores binarios que generaliza la propiedad distributiva del álgebra elemental.La propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma en álgebra elemental es aquella en la que el resultado de un número multiplicado por la suma de dos o más sumando, es igual a la suma de los productos de cada uno sumando por ese número. En términos algebraicos:Ejemplo:
- Ley de Morgan: En lógica proposicional y álgebra de Boole, las leyes de De Morgan son un par de reglas de transformación que son ambas reglas de inferencia válidas. Las normas permiten la expresión de las conjunciones y disyunciones puramente en términos de vía negación.Las reglas se pueden expresar en español como:La negación de la conjunción es la disyunción de las negaciones.o informalmente como:"no (A y B)" es lo mismo que "(no A) o (no B)""no (A o B)" es lo mismo que "(no A) y (no B)"Las reglas pueden ser expresadas en lenguaje formal con dos proposiciones P y Q, de esta forma:donde:Entre la aplicaciones de las normas se incluyen la simplificación de expresiones lógicas en programas de computación y diseño de circuitos digitales. Las leyes de De Morgan son un ejemplo de concepto más general de dualidad matemática.
- Diferencia Simétrica: En teoría de conjuntos, la diferencia simétrica de dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son aquellos que pertenecen a alguno de los conjuntos iniciales, sin pertenecer a ambos a la vez. Por ejemplo, la diferencia simétrica del conjunto de los números pares P y el conjunto de los cuadrados perfectos C es un conjunto D que contiene los cuadrados impares y los pares no cuadrados:La diferencia simétrica de conjuntos se denota por Δ, por lo que P Δ C = D.
Actividad:Definir la relación que existe entre la teoría de conjuntos, lógica matemática y álgebra booleana.- Entre lógica matemática y teoría de conjuntos comparten leyes lógicas tanto para conjuntos como para lógica proposicional. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional.En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico.
- CUESTIONARIO
- 1°-¿Que es un conjunto?
- Un conjunto es una colección de elementos con características similares considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.
- 2°-¿Qué es un subconjunto?
- Conjunto de elementos que tienen las mismas características y que está incluido dentro de otro conjunto más amplio.
- 3°-¿Qué es el Diagrama de Venn?
- Un diagrama de Venn usa círculos que se superponen u otras figuras para ilustrar las relaciones lógicas entre dos o más conjuntos de elementos.
- 4°-¿Para que se utiliza el Diagrama de Venn?
- Se utilizan para organizar cosas de forma gráfica, destacando en qué se parecen y difieren los elementos.
- 5°-¿En que áreas se utilizan los Diagramas de Venn?
- Se usan amplia mente en las áreas de matemática, estadística, lógica, enseñanza, lingüística, informática y negocios.
- 6°-¿Cuando se creó el Diagrama de Venn?
- 7°-¿Que es la Ley Distributiva?
- En matemáticas y en particular en álgebra abstracta, la distributiva es la propiedad de los operadores binarios que generaliza la propiedad distributiva del álgebra elemental.
- 8°-¿Qué es la Ley de Morgan?
- En lógica proposicional y álgebra de Boole, las leyes de De Morgan son un par de reglas de transformación que son ambas reglas de inferencia válidas.
- 9°-¿Qué es la Diferencia Simétrica?
- En teoría de conjuntos, la diferencia simétrica de dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son aquellos que pertenecen a alguno de los conjuntos iniciales, sin pertenecer a ambos a la vez.
- 10°-¿Cómo se denota la "Diferencia Simétrica" de conjuntos?
- La diferencia simétrica de conjuntos se denota por Δ, por lo que P Δ C = D.
No hay comentarios:
Publicar un comentario